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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4.
Analizar si los siguientes conjuntos de vectores generan $\mathbb{R}^{n}$ o no.
c) $n=3,\ \{(1,1,-1),(0,1,1),(1,2,0)\}$.
c) $n=3,\ \{(1,1,-1),(0,1,1),(1,2,0)\}$.
Respuesta
En este caso, $n = 3$, así que tenemos que ver si los vectores $\{(1,1,-1),(0,1,1),(1,2,0)\}$ generan $\mathbb{R}^3$ o no.
💡 Para generar $\mathbb{R}^3$, que tiene dimensión $3$, necesitamos tres generadores de $\mathbb{R}^3$ que sean LI.
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Asi que la clave, para definir si este conjunto genera $\mathbb{R}^3$ o no, es definir si estos tres vectores son LI o no.
Armamos la matriz...
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$
Escalonamos...
$F_3 - F_1 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$F_3 - F_2 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Mmmm, nos quedó una fila toda de ceros, así que tenemos únicamente dos vectores LI en este conjunto, hay un tercero que es combinación lineal de los otros. Como este conjunto no contiene tres vectores de $\mathbb{R}^3$ que sean LI 👉 No puede generar $\mathbb{R}^3$.
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